TEMAS PRIMEROS

CRITERIOS DE CONGRUENCIA

1.- Dos triángulos son congruentes, si tienen dos lados iguales y también el ángulo comprendido entre ellos

(L, A, L)

2.- Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos iguales y el lado adyacente a ambos.

(A, L, A)

3.- Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados iguales.

(L, L, L)

 LAS MATEMÁTICAS A TRAVÉS DE LA HISTORIA

1. Niels Henrik Abel

 (1802-1829) era noruego. Estaba orgulloso de ello (firmaba todos sus escritos como N. H. Abel, noruego), pero también era para él una carga. A principios del siglo XIX Cristiana (actualmente Oslo) estaba muy apartada de los ambientes matemáticos y científicos europeos que se concentraban en París y Berlín. Hijo de un pastor protestante, destacó desde niño en las matemáticas. Siendo aún muy joven empezó a estudiar la solución de la ecuación de quinto grado. Pronto cambió de orientación y trató de demostrar, precisamente, la imposibilidad de resolver esas ecuaciones con métodos algebraicos. Lo logró cuando contaba 24 años. Tuvo que luchar contra la penuria económica (él mismo tenía que pagar la edición de sus obras) y contra la incomprensión de otros grandes matemáticos. A pesar de todo se fue abriendo camino hasta lograr que la prestigiosa universidad de Berlín le ofreciera un puesto de profesor. Por desgracia, la oferta llegó demasiado tarde. Abel había muerto dos días antes, el 6 de abril de 1829, en Noruega, víctima de la tuberculosis. Tenía sólo veintiséis años.

2.- Arquímedes

Nacionalidad: Griego 
Gran hecho: Aplicó la geometría en práctica en el siglo 3 a.c. 

Arquímedes también era inventor. Entre sus trabajos están el tornillo de Arquímedes, usado para quitar agua de navíos, y la catapulta 

 (287-212 AC)Arquímedes puede ser considerado como el más grande de los matemáticos de la antigüedad. Pasó casi toda su vida en su ciudad natal de Siracusa, aunque se sabe que visitó Egipto al menos en una ocasión. La fama de Arquímedes se basa, fundamentalmente, en sus numerosos descubrimientos matemáticos. Halló, por ejemplo, un valor aproximado de Pi con un error muy pequeño. Calculó volúmenes y áreas, algunos muy difíciles, entre ellos el volumen de la esfera. Demostró el siguiente resultado fundamental del que se sentía particularmente orgulloso: «Los volúmenes de un cono, de una semiesfera y de un cilindro, todos de la misma altura y radio, se encuentran en la razón 1:2:3». Considerado este teorema con la perspectiva que nos da la Historia, era verdaderamente un resultado excepcional para la época. La pureza de su matemática en las obras De la esfera y del cilindro, De los conoides y esferoides, De las espirales y la originalidad de sus nuevas ideas (método de exhausción, cuadratura del segmento de parábola), en las que se puede ver el germen del cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz, se unen y se complementan armoniosamente con sus trabajos sobre estática e hidrodinámica, poniendo de manifiesto cómo las dos matemáticas (la pura y la aplicada) se complementan mutuamente, de manera que cada una actúa como estímulo y ayuda para la otra, y forman en conjunto una única y bien definida línea de pensamiento.

3. ¨ Jakob Bernouilli

(1654-1705), miembro de una de las más destacadas familias científicas originaria de los Países Bajos. Escribió un importante tratado sobre cálculo de probabilidades titulado Ars conjectandi, que se publicó ocho años después de su muerte. A Jakob Bernouilli se le debe el estudio de la distribución binomial. Propuso en 1696 como desafío «a todos los matemáticos del mundo» el problema de la braquistocrona (curva de caída de un cuerpo en un tiempo mínimo entre dos puntos no situados en una misma vertical), con la promesa de «honor, alabanza y aplauso» para quien lograra resolverlo. Quien lo consiguió años más tarde fue el propio J. Bernouilli.

4. ¨ Aristóteles

Se limitó casi exclusivamente al estudio del silogismo, a él es preciso atribuir todo el mérito de la fundación de la lógica formal. En nuestros días, el silogismo no es más que un capítulo trivial de la lógica. Cuesta trabajo creer que durante 2.000 años fuese tema principal de los estudios lógicos, y que en fecha tan tardía como 1797, nada menos que Immanuel Kant pudiese escribir que la lógica era «un cuerpo de doctrina cerrado y completo». «En la inferencia silogística», escribió en cierta ocasión Bertrand Russell «se supone que uno sabe ya que todos los hombres son mortales y que Sócrates es un hombre; y de ahí uno deduce lo que jamás había sospechado, a saber, que Sócrates es mortal. Esta forma de inferencia se da realmente, aunque muy raras veces». Russell continúa explicando que el único ejemplo del que tuvo noticia le llegó a través de un número satírico de Mind, una revista inglesa dedicada a temas filosóficos en un número especial preparado por la redacción para celebrar las navidades de 1901. Allí, un filósofo alemán mirando perplejo los anuncios de la revista, terminó por razonar así: «En esta revista todo es broma; los anuncios se encuentran en la revista. Por consiguiente, los anuncios son pura broma.» En otro lugar, Russell escribió también: «Si tiene usted la intención de dedicarse a la lógica, he aquí un buen consejo en el que nunca insistiré bastante: no estudie la lógica tradicional. En los tiempos de Aristóteles fue sin duda un esfuerzo meritorio.

5. ¨ Augustin-Louis Cauchy

 (1789-1857), francés. Su padre, aconsejado por Lagrange, le envió a estudiar humanidades. Cauchy obedeció, sacó varios premios y, decidido a estudiar matemáticas, entró en la Escuela Politécnica de París al aprobar en 1805 los exámenes de 293 candidatos con el nº 2, y terminó en 1807 con el nº 3. Sus convicciones políticas le trajeron muchos problemas, hasta que en 1848 la revolución francesa le permitió ocupar un cargo en la Sorbona. Matemático meticuloso, construyó una obra inmensa, publicando con regularidad en 45 años de vida científica sobre aritmética, física matemática, álgebra, análisis, estadística, geo metría, mecánica, etc. La edición de sus obras completas se ha demorado casi un siglo; consta de 27 volúmenes y contiene 800 artículos, memorias y 5 obras dedicadas a la enseñanza.

6. ¨ René Descartes

 

Nacionalidad: Francés 
Gran hecho: Creó la geometría analítica en el siglo 17. 

Responsable por representar los números en el gráfico con los ejes cartesianos en su homenage. La geometría analítica revolucionó la matemática, tornando más facil observar relaciones entre números y comprender conceptos abstractos. 
Descartes morió de neumonia en el castillo de la reina de Suécia, que lo contrató como profesor de filosofia. 

(1596-1650), considerado padre de la filosofía moderna, trabajó además en fisiología, psicología, óptica y astronomía. Creó la geometría analítica (1619). En el colegio tenía gran habilidad para las discusiones: primero acordaba con sus oponentes las definiciones y el significado de los objetos de discusión, y después construía una argumentación con ellos difícil de rebatir.. Consiguió permiso para levantarse tarde, y así dedicarse a pensar en solitario. Fue gran amigo de Mersenne (v.). En 1632 resolvió el problema de la caída de los cuerpos sin saber que Galileo ya lo había hecho.

7. ¨Einstein

Él mismo escribió: «Nuestra experiencia nos justifica en la confianza de que la Naturaleza es concreción de las ideas matemáticas más sencillas.» Cuando tuvo que elegir las ecuaciones tensoriales capaces de dar cuenta de su teoría de la gravitación, entre todos los sistemas capaces de cumplir los requisitos necesarios optó por el más sencillo, y a continuación los publicó, con plena confianza (como en cierta ocasión le dijo al matemático John G. Kemeny) de que «Dios no hubiera dejado escapar una oportunidad así de hacer tan sencilla la Naturaleza». Se ha opinado que los enormes logros de Einstein han sido expresión intelectual de una compulsión psicológica de sencillez, que Henry David Thoreau expuso en Walden como sigue: «¡Sencillez, sencillez, sencillez! Hágame caso, que sus asuntos sean como dos o tres, no como cientos o millares. No haga por contar un millón, sino media docena, y lleve su contabilidad en una uña.» En su biografía de Einstein, Peter Michelmore refiere que «el dormitorio de Einstein parecía la celda de un monje. No había en él cuadros ni alfombras... Se afeitaba sin muchos miramientos, con jabón de fregar.

8. ¨ Eratóstenes de Cirene

(275-194 a.C.) Sabio griego nacido en la actual Libia, quien en el siglo III a.C. calculó por primera vez, que se sepa, el radio de la Tierra. Partiendo de la idea de que la Tierra tiene forma esférica y que el Sol se encuentra tan alejado de ella que se puede considerar que los rayos solares llegan a la Tierra paralelos, Eratóstenes el día del solsticio de verano (21 de junio), a las doce de la mañana, midió, en Alejandría, con ayuda de una varilla colocada sobre el suelo, el ángulo de inclinación del Sol, que resultó ser 7,2°; es decir, 360º/50. Al mismo tiempo sabía que en la ciudad de Siena (actual Assuán, en que se construyó recientemente la gran presa de Assuán sobre el curso del río Nilo), los rayos del sol llegaban perpendicularmente al observar que se podía ver el fondo de un pozo profundo

9. ¨ Euclides

Nacionalidad: Grego 
Gran hecho: Fundamentó la geometría en el siglo 3 a.c. 

Su libro Elementos, con los fundamientos de la geometría clasica, ainda es lechura obligatória entre matematicos. En la obra de 23 siglos detrás estan compilados sus axiomas - verdades logicas que valen hacia hoy. Un ejemlo de axioma es : " puede se hacer una reta ligando dos puntos. 

La obra pirma de Euclides es su segundo libro mas traduzido de la historia, detrás tan solamente de el biblía. 

Son muy escasas las noticias históricas que se tienen sobre la vida de Euclides. Proclo dice que vivió en el período 306-285 aC, en tiempos de Ptolomeo I, quién le invitó al museo de Alejandría. Con bastante seguridad, parece que se puede afirmar que Euclides estudió en Atenas, donde conoció los últimos resplandores de su foco científico, pasando luego a Alejandría bajo la protección de los lágidas. Su obra más notable, a la cual debe su inmortalidad, es la titulada Elementos, que equivale a lo que hoy sería un tratado y que ha llegado íntegra hasta nuestros días.

10. ¨ Pierre de Fermat

(1601-1665), francés, fundador de la teoría de los números. No era matemático sino jurista, y sus trabajos matemáticos no se publicaron hasta después de su muerte. Escribió numerosas notas al margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto. Una de ellas ha llegado a ser uno de los más famosos enunciados en la historia de las matemáticas, el Último teorema de Fermat. Al lado de un problema sobre ternas pitagóricos, escribió en latín: "Por otra parte, es imposible que un cubo sea suma de otros dos cubos, una cuarta potencia, suma de dos cuartas potencias, o en general, que ningún número que sea potencia mayor que la segunda pueda ser suma de dos potencias semejantes. He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener."

 

11. ¨ Henri Poincaré 

 

nacionalidad: Francés 
Gran hecho: Inventó el topología algebraica en el siglo 19 

Despues de el, pasó se a clasificar sólidos imaginários como cubos, esperas o cones por medio de teoremas. Com el topología algebraica es posible demonstrar, por ejemplo, como una copa es el deformación de el mitad de un aro. 

Hipotese no comprobada desde 1904 solamente resolvido en 2006
 
12. ¨ Al-Khwarizmi 

Nacionalidad: Persa. 
Gran Hecho; Creó las bases teóricas para la algebra moderna en el siglo 8. 

El fundamientó la matemática ocidental, Su obra descreve metodos para resolver equaciones lineares y quadraticas, como enseñan el la escuela hacia hoy. 

El italiano Fibonacci llevó los conocimientos de Khwarizmi para Europa, diseminando los numerales arabicos y algarismos de 0 hacia 9 para representalos. 

13. ¨ISAAC NEWTON

Nacionalidad; Inglés 
Gran echo: Crió el calculo en el siglo 17 

Responsable por avanzos cientificos que cambiaran la humanidad, como la leye de la gravitación universal, Newton también era un matematico notable, considerado un de los inventores del calculo- disciplina avanzada de la matematica, enseñada en cursos superiores especificos. Sin el calculo no seria posible medir con precisión el volumen de objetos curvos o calcular la velocidad de objectos en aceleración 

14. ¨ Gottfried Leibniz 

Nacionalidad: Alemán 
Gran hecho: Creó el calculo en el siglo 17. 
No era popular como Newton, pero quien lo conoció compara su genio como DaVinci. Leibniz aprofundó el concepto de grandezas infinitezimales, o sea, infinitamiente pequeñas- que por el nombre hasta puede no parecer, pero son mucho relevantes en la matematica. 

Newton delato Leibniz por plágio, pero quedose comprobado que los dos desarollaron estudios sobre el calculo a un mismo tiempo, llegando a la mismas conclusiones. 



  15. ¨ Évariste Galois 

 

Nacionalidad: Francés 
Gran Hecho; Creó las estructuras algebriacas en el siglo 19. 

Rebelde y genial, es lo unico matematico cuya la obra no tiene errores, quizá por ser muy corta. Su trabajo principal fue en polinomios y estructuras algebraicas, lo que llevo a solucionar problemas matematicos abiertos desde la antiguidad. 

Espertos creem que si no tuviera morido a los 21 años- en un duelo- seria el numero un de nostra cola. 

16. ¨ Carl Gauss 

 

Nacionalidad: Alemán 
Gran hecho: Más completo matemático de la primera mitad del siglo 19 
El "principe de los matematicos" publicó, a los 21, su obra prima sobre teoria de los numeros. Morió a los 77 años como mayor generalista matematico, contribuyendo en areas como estatica, analise, geometría diferencial y geodesia, para citar pocos. 

El extinto billete de diez marcos alemon, tenia un photo de Gauss con una de sus inventos: la curva de Gauss, que para siempre aparesce en graficos estatisticos. 

17. ¨ Leonad Euler

Suizo Revolucionó casi toda la matematica en el siglo 18. 
Sus casi 800 libros cementaron campos que serian estudiados futuramente, como topología, y revolucionó casi todos los que ya estuvierón en voga. como calculos y funciones. A solucionar un problema que tenia siete puentes que ligavan 2 islas en la ciudad de Koningsberg, antigua Prussia, fundó la teoria dos grafos, que posibilitó el sugimiento de la topologia y es usada hoy, por ejemplo, para hacer tablas del capeonato brasileño. 
Euler quedó se ciego a los 50 años y pasó sus textos a su hijo, Muchos matematicos avaliamque su trabajo quedo más rico despues que perdió la visón.

 RECTA DE EULER

En el año de 1765, el matemático suizo Leonhard Euler, demostró que si se realizan las mediatrices, las medianas y las alturas de cada lado de un triángulo, y posteriormente, se encontrara el ortocentro, el baricentro y el circuncentro, estos tres puntos serian colineales, es decir que formarían una recta, la cual fue nombrada en honor de su descubridor como “recta de Euler”.

Con este nuevo descubrimiento, se supo que cualquier triángulo tiene estas características, lo cual fue conocido como el gran descubrimiento de medio siglo XVIII.

Posteriormente se supo que el punto de Exter y el centro de los nueve puntos notables de un triángulo, también son colineales al igual que el ortocentro, el baricentro y el circuncentro, por lo que la recta de Euler se amplió.

EJEMPLO: